目錄
第1章 有限元方法構造 1
1.1 Galerkin變分原理和Ritz變分原理 1
1.2 Galerkin逼近解 6
1.3 有限元子空間 9
1.4 單元剛度矩陣和總剛度矩陣 15
第2章 單元及形狀函數 18
2.1 矩形元素的形狀函數 20
2.1.1 矩形元素的Lagrange型形狀函數 21
2.1.2 矩形元素的Hermite型形狀函數 24
2.2 三角形元素 27
2.2.1 面積坐標和體積坐標的概念 27
2.2.2 三角形元素的Lagrange型形狀函數 33
2.2.3 三角形元素的Hermite型形狀函數 37
2.3 三維元素的形狀函數 45
2.3.1 六面體元素的Lagrange型形狀函數 45
2.3.2 四面體元素的Lagrange型形狀函數 47
2.3.3 三棱柱體元素的形狀函數 48
2.3.4 四面體元素的Hermite型形狀函數 49
2.4 等參數元素 50
2.5 曲邊元素 53
第3章 有限元方法解題過程 57
3.1 有限元方法的計算流程 57
3.2 對稱帶狀矩陣的一維存儲 63
3.3 數值積分 66
3.4 單元剛度矩陣的計算和總剛度矩陣的合成 69
3.4.1 形狀函數的計算 69
3.4.2 單元剛度矩陣及單元列陣的計算 73
3.4.3 總剛度矩陣元素的迭加 74
3.5 有限元方程組的直接解法 76
3.5.1 對稱、正定矩陣的分解 76
3.5.2 線性代數方程組的直接解法 78
3.6 有限元方程組的其他解法 81
3.6.1 最速下降方法 82
3.6.2 共軛梯度法 83
3.7 約束條件的處理 85
3.7.1 強加約束條件的處理 85
3.7.2 周期性約束條件的處理 87
3.8 場函數數值導數的計算 93
3.9 有限元網格的自動剖分 96
第4章 Sobolev空間 100
4.1 關于區(qū)域和某些記號 100
4.2 若干經典函數空間 101
4.3 Lp(Ω)空間 103
4.4 廣義函數空間 104
4.5 整數階Sobolev空間 106
4.6 實數階Sobolev空間Hσ，p(Ω) 108
4.7 嵌入定理和插入不等式 109
4.8 跡空間 111
第5章 邊值問題變分原理及有限元逼近解誤差估計 120
5.1 橢圓邊值問題 120
5.2 變分原理 123
5.3 有限元逼近解 133
5.4 坐標變換和等價有限元 135
5.4.1 仿射變換和仿射等價有限元 135
5.4.2 等參變換和等參有限元 136
5.5 有限元插值基本理論 140
5.5.1 若干引理 140
5.5.2 仿射等價有限元插值精度 140
5.5.3 等參有限元插值精度 142
5.5.4 C1-類有限元插值 143
5.6 橢圓邊值問題有限元逼近解精度 143
5.6.1 協調有限元 143
5.6.2 收斂性定理 144
5.6.3 Aubin-Nitsche引理和零階模的估計 145
5.6.4 負范數估計 147
5.7 最大模估計 148
5.7.1 反假設 148
5.7.2 權半范 150
5.7.3 投影算子 153
5.7.4 最大模估計 160
第6章 非標準有限元方法 162
6.1 抽象的連續(xù)混合問題 162
6.2 一些例子 165
6.2.1 二階邊值問題的混合法 165
6.2.2 二階邊值問題的雜交法 166
6.2.3 Stokes問題 167
6.2.4 雙調和方程 168
6.3 逼近問題 169
6.4 二階邊值問題雜交有限元方法 174
6.4.1 雜交有限元逼近 174
6.4.2 逼近解存在唯一 179
6.4.3 誤差估計 181
6.4.4 實例 185
6.5 間斷有限元和Hm(h)空間 185
6.6 空間Hm(hl)的性質 193
6.7 變分問題的非協調逼近 205
6.8 非標準元實例 214
6.8.1 Wilson元 214
6.8.2 Adini元 216
6.8.3 Crouzeit-Raviart元 219
6.8.4 Morley元 220
6.8.5 Deveubeke元 221
6.8.6 Garey元 222
第7章 有限元方法在工程中的一些應用 224
7.1 連續(xù)介質力學中的微分方程 224
7.1.1 形變張量形變速度張量 224
7.1.2 應力張量 225
7.1.3 線性彈性力學中應力張量和形變張量的依存關系 226
7.1.4 流體力學中應力張量和形變速度張量之間的依從關系 227
7.1.5 任意二階張量Tij的Gauss公式 228
7.1.6 連續(xù)介質力學中的平衡方程 228
7.1.7 彈性力學中的Lame方程和彈性勢能 229
7.1.8 流體力學中的微分方程組 229
7.2 彈性力學中的位移法 232
7.2.1 Galerkin變分問題和最小位能原理 232
7.2.2 有限元逼近解 234
7.2.3 直角坐標系和軸對稱情形 235
7.3 近代梁工程有限元方法 236
7.3.1 三維梁問題分解為二維問題和一維問題 236
7.3.2 一維問題的有限元迭代方程組 240
7.3.3 變斷面梁情形 242
7.3.4 加強筋的處理 243
7.4 S-族坐標系 247
7.4.1 度量張量與行列式張量 248
7.4.2 Christoffel記號 250
7.4.3 協變導數 251
7.4.4 曲面上任意正交標架 252
7.5 殼體問題的有限元逼近 252
7.6 中子擴散方程本征值問題有限元逼近 258
7.6.1 廣義本征值問題及迭代格式 259
7.6.2 加速收斂方法 261
7.6.3 計算實例 262
7.7 電磁場中的Maxwell方程有限元解 264
7.7.1 Maxwell方程 264
7.7.2 電位和矢位 266
7.7.3 波動方程 266
7.7.4 鐵磁性介質中的穩(wěn)態(tài)磁場 267
7.7.5 變分問題 268
7.8 電磁波散射問題的邊界元方法 271
7.9 輻射問題有限元———邊界元耦合方法 276
7.9.1 問題(7.9.2)解的存在唯一 277
7.9.2 耦合變分問題 278
7.9.3 耦合變分問題的適定性 279
7.9.4 耦合變分問題有限元———邊界元逼近 283
7.9.5 計算實例 285
第8章 透平機械內部流場的有限元分析 288
8.1 透平機械內部三元流動 288
8.1.1 時間函數空間 289
8.1.2 變分問題 290
8.1.3 離散化 290
8.1.4 無黏性流動 292
8.2 透平機械內部任意流面流函數方法 294
8.2.1 任意流面上的流函數 294
8.2.2 任意流面上流函數的微分方程 297
8.2.3 環(huán)量密度和角速度 298
8.2.4 例子 299
8.2.5 速度的物理分量 300
8.2.6 邊界條件的計算 301
8.3 單參數流面族的生成 303
8.4 有限元逼近解 305
8.4.1 有限元代數方程組 305
8.4.2 密度的計算 306
8.4.3 單調性 306
8.4.4 有限元解的誤差估計 308
8.4.5 數值例子 311
8.5 解的存在性和唯一性 311
8.6 跨音速流的最優(yōu)控制有限元解 314
8.7 任意流面上的黏性流 318
8.7.1 流面上流動的微分方程 318
8.7.2 原始變量法變分形式 321
8.7.3 有限元方程組 322
8.7.4 例子 323
8.8 位勢流 326
第9章 Navier-Stokes方程有限元逼近 333
9.1 Navier-Stokes方程 333
9.1.1 定常Navier-Stokes方程的原始變量變分問題 335
9.1.2 LBB條件及問題(犘)和問題(犙)的等價性 337
9.1.3 弱解的存在性和唯一性 339
9.1.4 迭代序列的收斂性 344
9.2 Navier-Stokes方程加罰方法和算子方程 347
9.2.1 罰方法 347
9.2.2 算子方程 350
9.3 最優(yōu)控制方法 353
9.4 非奇異解分支 361
9.4.1 非奇異解和它的擾動 361
9.4.2 求擾動解的迭代法 363
9.4.3 非奇異解的冪級數展開 364
9.4.4 連續(xù)延拓 366
9.4.5 解分支的連續(xù)弧長算法 367
9.5 Navier-Stokes方程的奇異解 368
9.5.1 奇異和本征值 369
9.5.2 Liapunov-Schmidt過程 370
9.6 簡單極限點和簡單分歧點 374
9.6.1 簡單極限點 374
9.6.2 簡單分歧點 376
9.7 Navier-Stokes方程定常二次流 379
9.7.1 二次流與分歧點 379
9.7.2 旋轉流動問題 382
9.7.3 二次Taylor旋渦 391
9.8 非定常Navier-Stokes方程 393
9.9 有限元逼近解誤差分析 403
參考文獻 422