１．加法

計數(shù)一、二、三、四，或者 １（ｕｎｏ）、２（ｄｏｓ）、３（ｔｒｅｓ）、４（ｃｕａｔｒｏ）（或任何語言）；或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ或 １、２、３、４或任何符號可能是人類的第一個理論數(shù)學活動．

它是理論性的，因為它脫離了實體，無論這些被計數(shù)的實體是什么．牧羊人首先堆起鵝卵石，每塊石頭表示放

一只羊出去吃草，然后當羊回到羊圈時，再把石頭一個一個地扔掉，這是在演示一種實用的數(shù)學行為

創(chuàng)建一對一的對應關系．但這一行為僅僅是實踐，沒有伴隨任何理論．

本書關注的是接下來可能被發(fā)現(xiàn)（或發(fā)明）的數(shù)學活動加法．

我們 可能認為加法是原始的或簡單的，即使小孩子都能明白．然而，片刻的反思將使你相信，人類必須付出巨大的努力才能構(gòu)思出一個抽象的加法理論．在 數(shù)字出現(xiàn)之前，人們不能把兩個數(shù)相加，并且純數(shù)的形成是復雜的，因為它 涉及抽象的邏輯． 你可能想要直接學習數(shù)學意義上的加法并且跳過本節(jié)的其余部分，或 者揣測出

一些與數(shù)學概念和實踐相關的哲學問題，正如本書的主題所示．那 些對這些哲學問題有鑒賞力的人可以享受以下極其簡短的概述． 也許這種純數(shù)的抽象概念是通過計數(shù)的經(jīng)驗形成的．一旦有了一系列 的數(shù)字詞匯，你就可以第一天數(shù)斧頭，第二天數(shù)綿羊，第三天數(shù)蘋果．過了一 段時間后，你只需要列舉那些單詞，而不管任何特定被計數(shù)的事物，然后你 可能會無意中發(fā)現(xiàn)純數(shù)的概念．

更有可能的是，算術(shù)和抽象的數(shù)字概念是同時發(fā)展起來的．

一種理解數(shù)、計數(shù)和加法概念困難程度的方法是看數(shù)學哲學，直到今 天，數(shù)學哲學還沒有給數(shù)下一個能被人們普遍接受的定義．古希臘哲學家 甚至不認為數(shù) １是一個數(shù)字，因為在他們看來，數(shù)字是我們數(shù)出來的，沒有人 會對數(shù)１，句號感到困惑．

除了提到的一類問題外，我們不會談更多非常困難的數(shù)學哲學．伊曼努 爾·康德和他的追隨者非常關注加法，以及如何在哲學上證明加法的運算． 康德聲稱有先驗人造真理，它們是真實的，我們可以在獲得任何可能的經(jīng) 驗之前知道它是真的，但它的真實性并不依賴于詞語的純粹意義．例如，語 句單身漢沒有妻子是真的，無須任何經(jīng)驗來保證它的正確，因為它是單 身漢的定義沒有妻子的一部分．這樣的真理稱為先驗分析．康德聲稱， 五加七等于十二是毋庸置疑的真理，無須任何經(jīng)驗來驗證它的真實性，但 它是人工的，因為（康德聲稱）十二的概念與五七和加的概念 在邏輯上并沒有關聯(lián)或暗示．通過這種方式，康德可以用算術(shù)來證明先驗存 在的人工真理，然后可以繼續(xù)考慮其他類似的真理，這些真理后來出現(xiàn)在他 的哲學中．

相反，其他哲學家，如伯特蘭·羅素認為，數(shù)學真理都是分析性的．這些 哲學家常常認為邏輯先于數(shù)學．這里還有一種觀點認為數(shù)學真理是后驗 的，即它們依賴于經(jīng)驗．這似乎是路德維希·維特根斯坦的觀點．顯然，在喬 治·奧威爾的小說《１９８４》中，統(tǒng)治者們也有這樣的觀點：他們能使戰(zhàn)敗的 英雄堅信二加二等于五．

數(shù)學哲學是極其復雜、專業(yè)和難以理解的．在 ２０世紀期間，它變得越來 越備受爭議．奎因?qū)Ψ治霆簿C合的區(qū)別提出了全面質(zhì)疑．真理的概念（這個概 念一直是一個很難解決的問題）變得越來越復雜．時至今日，對涉及數(shù)字及 其性質(zhì)的任何事物，哲學家們達成一致的看法并不多．幸運的是，我們不需要選取這些哲學問題，而是去欣賞數(shù)學家們發(fā)展的一些關于數(shù)字的漂亮理 論．我們都對數(shù)字是什么有一些直觀的理解，這種理解似乎就足以發(fā)展出關 于數(shù)字的既沒有矛盾又十分重要的定理的概念．通過人工或計算機做算術(shù) 來測試這些定理，就可以滿意地看到定理是有效的．

２．有趣的求和

本書分為 ３部分：第一部分需要你懂得高等代數(shù)和笛卡兒坐標的基本知 識，除了少數(shù)幾個地方，基本上沒有超出這個范圍．在這一部分，我們將提出 以下問題：

• �S １＋２＋３＋… ＋ｋ的和有沒有一個簡短公式？ �S
• 如何求 １^２ ＋２^２ ＋３^２ ＋… ＋ｋ^２的和？ �S
• 我們可以更大膽地提出，若 ｎ為任意整數(shù)，求 １^ｎ＋２^ｎ＋３^ｎ＋… ＋ｋ^ｎ的 簡式． �S
• 如何求 １＋ａ＋ａ^２ ＋… ＋ａ^ｋ的和？ �S
• 一個給定的整數(shù) Ｎ是否可以寫成完全平方數(shù)、立方數(shù)、ｎ次方數(shù)、三 角形數(shù)、五邊形數(shù)的和？ �S
• 顯然，大于 １的整數(shù)可以寫成更小的正整數(shù)之和．我們可以問：有多 少種方法可以這么做？ �S
• 如果一個數(shù)可以寫成 ｋ個平方數(shù)的和，那么可以用多少種不同的方 法來完成？

我們?yōu)槭裁匆獑栠@些問題？因為這些問題本身是有趣的和有歷史原因 的，這些問題的答案也會產(chǎn)生漂亮的探究方法和令人驚奇的證明． 在本書的第二部分，你需要知道一些微積分的知識．我們將研究無窮 級數(shù)，它們是無限長的求和，只能用極限的概念來定義．例如，

１＋２＋３＋… ＝？

這里的圓點表示把求和繼續(xù)下去直到永遠．很明顯，這個總數(shù)是沒有答案的，因為總數(shù)只會越來越大．如果我們愿意，可以把這個和定義為無窮大， 但這也只是上一句話的更簡短的表達方式．

１＋１＋１＋… ＝？

這個和也顯然是無窮大．

該如何計算

１－１＋１－１＋１－１＋１－… ＝？

現(xiàn)在你可能會猶豫．歐拉說它加起來的最后結(jié)果是 １/２．

１＋ａ＋ａ^２ ＋… ＝？ 我們會發(fā)現(xiàn)，如果 ａ是一個嚴格處在－１和 １之間的實數(shù)，這個問題就有一個 很好的答案．在學習到幾何級數(shù)時，你可能已經(jīng)知道這個答案．我們將擴 展代數(shù)運算，這樣 ａ就可以為復數(shù)． 然后可以問 １＋２^ｎ ＋３^ｎ ＋… ＝？

這里的 ｎ是任意復數(shù)．這個答案（一些 ｎ值）給出了一個關于 ｎ的被稱為 �� 函數(shù)的函數(shù)． 回到前一步，可以添加系數(shù)：

ｂ_０ ＋ｂ_１ａ＋ｂ_２ａ^２ ＋… ＝？

這就是引入生成函數(shù)概念的背景，這里的 ａ本身是一個變量．

我們也可以對 �埠瘮�(shù)級數(shù)添加系數(shù)并考慮如下級數(shù)

ｃ_１１^ｎ ＋ｃ_２２^ｎ ＋ｃ_３３^ｎ ＋… ＝？

它被稱為狄利克雷級數(shù)． 這些問題和答案促使我們在這本書的第三部分中定義和討論模形式． 令人驚訝的是，模形式如何將前兩部分的主題緊密聯(lián)系在一起．第三部分 將需要你了解一點群論和一些幾何學知識，并且比前兩部分要復雜一些． 本書的目標之一是解釋模形式，它是現(xiàn)代數(shù)論中不可或缺的部分． 在之前的兩本書中，模形式出現(xiàn)得很少，但對結(jié)果卻是至關重要的．在本 書中，我們想花些篇幅解釋一些關于模形式的內(nèi)容，盡管只會觸及這一非 常廣泛和深奧的主題的表面．在本書的結(jié)尾，我們將回顧如何在阿什和格 羅斯（２００６）中使用模形式來聯(lián)系伽羅瓦表示理論并證明費馬大定理，以 及阿什和格羅斯（２０１２）用迷人的 Ｂｉｒｃｈ�玻樱鳎椋睿睿澹颍簦铮瞠玻模�ｅｒ猜想來描述三次 方程的解． 作為本書的主題，我們從平方數(shù)的和開始，因為它是一個古老而漂 亮的問題，其解是理解模形式的最好方法．現(xiàn)在可以稍微描述一下這個 問題．考慮一個整數(shù) ｎ，稱 ｎ是一個平方數(shù)，如果它等于 ｍ^２，這里 ｍ也是一個 整數(shù)．例如，６４是一個平方數(shù)，因為它等于 ８乘以 ８，但 ６３不是平方數(shù)．注意， 我們將 ０＝０^２定義為一個平方數(shù)，類似的還有 １＝１２．從列出的 ０，１，２，… 開 始，然后依次對每個數(shù)進行平方，就很容易列出所有平方數(shù)（因為負數(shù)的平 方與它的絕對值平方是一樣的，所以只需要使用非負整數(shù)），從而可以列出 所有平方數(shù) ０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００，… 正如你所看到的，越往后面，平方數(shù)之間的間距就越大（證明：相鄰的兩個平 方數(shù)之間的距離為 （ｍ＋１）^２ －ｍ^２ ＝ｍ^２ ＋２ｍ＋１－ｍ^２ ＝２ｍ＋１，所以距離 會隨 ｍ變大而變大．注意到這點使我們有更精確的信息：相鄰兩個平方數(shù)的 差是依順序遞增的正奇數(shù)）．如果用一點不合語法的話，我們可以很學究地 就說平方數(shù)的列表是一個平方數(shù)的和的列表。

這里產(chǎn)生了一個更有趣的問題：什么是兩個平方數(shù)的和的列表？你 可以寫一個計算機程序，把這個列表輸出到某個極限 Ｎ，你的計算機程序至 少可以用兩種不同的方式生成列表．首先，列出直到 Ｎ的所有平方數(shù)；其次：

方法 １：添加你清單上的所有可能的方式．然后按升序排列答案．

方法 ２：把 ｎ從 ０取到 Ｎ并構(gòu)成一個環(huán)，對每一個 ｎ，把所有平方數(shù) 之和小于或等于 ｎ的數(shù)對加起來看是否能得到 ｎ．如果能， 把 ｎ加入列表，并繼續(xù)轉(zhuǎn)到 ｎ＋１；如果不能，把 ｎ從列表中 刪除，然后轉(zhuǎn)到 ｎ＋１．

注：我們定義 ０是一個平方數(shù)，所以任何一個平方數(shù)也是兩個平方數(shù)的和．例 如，８１＝０^２ ＋９^２．同樣，也允許一個平方數(shù)被重復使用，所以任意平方數(shù) 的兩倍都是兩個平方數(shù)的和．例如，１６２＝９^２ ＋９^２．

運行你的程序或者手工添加平方數(shù)．無論哪種方式，你都會得到一個像 下面的兩個平方數(shù)的和的列表：

０，１，２，４，５，８，９，１０，１３，…

正如你所看到的，并不是每一個數(shù)字都在列表中，我們也不清楚如何預測給 定的數(shù)字是不是兩個平方數(shù)的和．例如，是否有一種方法可以在不運行計算 機程序的情況下判斷 １２３４５６７８９８７６５４３２１是否在列表中？現(xiàn)在，你的程序可 能只需要一轉(zhuǎn)眼的工夫就能把所有的平方數(shù)加到 １２３４５６７８９８７６５４３２１，但是 我們可以很容易地寫出一個足夠大的數(shù)字來減慢計算機得出結(jié)果的速度． 更重要的是，我們希望對問題有一個理論上的回答，它的證明能使我們對列 表上的數(shù)字和哪些不在列表上的數(shù)字有所了解． 皮埃爾·德·費馬在 １７世紀提出了這個問題，他一定列出了這樣一 個清單．在 １７世紀時沒有計算機，所以他的清單不可能那么長，但他能猜出哪個數(shù)字是兩個平方數(shù)的和的正確答案．在第 ２章中，我們將提供答案， 并用粗略的方式討論證明．因為這本書不是教科書，我們不想提供完整的證 明．而是更喜歡講一個更容易讀懂的故事．如果你愿意，你可以參考我們的 參考資料并找到完整的證明． 一旦你對這種問題感興趣（正如費馬那樣，他對數(shù)論的研究有巨大的 推動作用），那么就很容易創(chuàng)造出更多的結(jié)論．哪些數(shù)是三個平方數(shù)的和？ 四個平方數(shù)的和？五個平方數(shù)的和？這個特定的拼圖列表繼續(xù)下去將失 去意義，因為，０作為平方數(shù)，任意四個平方數(shù)的和也將是五個、六個，或任 何更多個平方數(shù)的和，事實上，我們將看到，任意一個正整數(shù)都是四個平方 數(shù)的和．你也可以問：哪些數(shù)是兩個立方數(shù)的和？三個立方數(shù)的和？四個立方 數(shù)的和？等等．然后可以用更高的冪代替立方數(shù)． 你還可以問（和歐拉一樣）：任何數(shù)都是四個平方數(shù)的和．正方形有 ４條 邊．每一個數(shù)都是 ３個三角形數(shù)的和、５個五邊形數(shù)的和嗎，等等．柯西證明 了答案為是． 在數(shù)學發(fā)展歷史上的某個時期，發(fā)生了一些非常有創(chuàng)意的事情．數(shù)學家 開始問一個似乎更難的問題．而不是只想知道 ｎ是否可以寫成 ２４個平方數(shù) 的和（例如），我們問：有多少種不同的方法可以把 ｎ寫成 ２４個平方數(shù)的和？ 如果方法數(shù)為 ０，則 ｎ不是 ２４個平方數(shù)的和．但是，如果 ｎ是 ２４個平方數(shù)的 和，我們得到的信息比僅僅是是或不是的答案要多．事實證明，這個更 難的問題導致了強大的數(shù)學工具的發(fā)現(xiàn)，這些工具是非常漂亮的，它們的重 要性超越了關于冪和的難題，它們是生成函數(shù)和模形式理論中的工具．這是 本書涉及的另一個主題．