第 1 講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的定義 1

1.1　函數(shù)的定義與性質(zhì)　1

1.1.1　定義與常用函數(shù)1

1.1.2　函數(shù)的基本性質(zhì)2

1.1.3　函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題5

1.1.4　函數(shù)定義的推廣　5

1.2　導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)　6

1.2.1　定義與基本性質(zhì)6

1.2.2　取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法　8

1.3　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　9

1.3.1　單調(diào)性與極值點(diǎn)9

1.3.2　凹凸性與拐點(diǎn)　12

1.3.3　證明不等式　15

1.4　課后練習(xí)　17

第　2 講 分類(lèi)討論與分離變量　18

2.1　分類(lèi)討論的常見(jiàn)策略18

2.1.1　矛盾區(qū)間法　18

2.1.2　端點(diǎn)效應(yīng)　19

2.1.3　必要性探路　20

2.1.4　多次求導(dǎo)　22

2.2　分離變量的策略與缺陷　24

2.2.1　分離變量的思路　24

2.2.2　洛必達(dá)法則　26

2.2.3　繞開(kāi)洛必達(dá)法則　28

2.3　解題中的因式分解29

2.3.1　多項(xiàng)式的除法　29

2.3.2　二次方程的十字相乘30

2.4　課后練習(xí)　32

第　3 講 函數(shù)不等式　33

3.1　常見(jiàn)函數(shù)不等式33

3.1.1　基本函數(shù)不等式　33

3.1.2　指數(shù)函數(shù)不等式　35

3.1.3　對(duì)數(shù)函數(shù)不等式　38

3.1.4　對(duì)數(shù)分式不等式　40

3.1.5　對(duì)數(shù)分式不等式的積分證法　43

3.1.6　對(duì)數(shù)平均不等式　43

3.1.7　三角函數(shù)不等式45

3.2　函數(shù)不等式的應(yīng)用　46

3.2.1　巧用 放縮 的手段　46

3.2.2　放縮取點(diǎn)的技巧　47

3.3　自然常數(shù) e 與指數(shù)函數(shù)　48

3.3.1　復(fù)利問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)48

3.3.2　微分方程與指數(shù)函數(shù)　49

3.4　函數(shù)的展開(kāi)式及其應(yīng)用　49

3.5　課后練習(xí)　53

第　4 講 多變量問(wèn)題　54

4.1　偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用54

4.1.1　偏導(dǎo)數(shù)的引入與意義54

4.1.2　偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　55

4.1.3　拉格朗日乘子法　59

4.1.4　存在型多變量問(wèn)題　60

4.2　有關(guān)系的雙變量問(wèn)題　60

4.2.1　利用齊次建立關(guān)系　60

4.2.2　利用韋達(dá)定理建立關(guān)系62

4.3　函數(shù)的中值定理及其應(yīng)用　63

4.4　課后練習(xí)　66

第　5 講 極值點(diǎn)偏移　67

5.1　極值點(diǎn)偏移的基本處理方法　67

5.1.1　確定參數(shù)的取值范圍67

5.1.2　對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造　68

5.1.3　對(duì)數(shù)平均不等式　69

5.1.4　換元與消元　70

5.2　極值點(diǎn)偏移的變形　72

5.2.1　不同的極值點(diǎn)　72

5.2.2　乘積型極值點(diǎn)偏移　73

5.2.3　加強(qiáng)不等式　74

5.2.4　拐點(diǎn)偏移　75

5.3　構(gòu)造函數(shù)逼近原函數(shù)76

5.3.1　極值點(diǎn)偏移的新方法76

5.3.2　零點(diǎn)差問(wèn)題的處理策略78

5.4　課后練習(xí)　82

第　6 講 隱零點(diǎn)問(wèn)題　84

6.1　隱零點(diǎn)問(wèn)題的分析　84

6.2　隱零點(diǎn)問(wèn)題的處理手段　87

6.2.1　消去變量　87

6.2.2　消去參數(shù)88

6.3　隱零點(diǎn)問(wèn)題的推廣　92

6.3.1　兩函數(shù)的公切線問(wèn)題92

6.3.2　朗博 W 函數(shù)及其應(yīng)用　96

6.4　課后練習(xí)100

第　7 講 復(fù)雜函數(shù)問(wèn)題101

7.1　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的 同構(gòu)　101

7.2　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合　104

7.2.1　證明不等式　104

7.2.2　凹凸性反轉(zhuǎn)的技巧　107

7.2.3　分類(lèi)討論問(wèn)題　107

7.3　三角函數(shù)與其他函數(shù)結(jié)合109

7.3.1　借助三角函數(shù)的性質(zhì)109

7.3.2　轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)　112

7.4　三次函數(shù)的分析　115

7.4.1　三次函數(shù)的圖像與單調(diào)性　115

7.4.2　與三次函數(shù)相關(guān)的高考題116

7.5　課后練習(xí)　121

第　8 講 函數(shù)與數(shù)列結(jié)合　122

8.1　遞推數(shù)列相關(guān)問(wèn)題　122

8.1.1　一階遞推數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)法　122

8.1.2　高階遞推數(shù)列的特征根法　125

8.1.3　函數(shù)遞推式　126

8.2　數(shù)列求和與不等式128

8.2.1　對(duì)數(shù)求和相關(guān)不等式　129

8.2.2　連乘積相關(guān)不等式　131

8.2.3　借助積分放縮　133

8.3　課后練習(xí)　135

第　9 講 2024 年高考導(dǎo)數(shù)真題解析136

9.1　三次函數(shù)問(wèn)題136

9.2　分類(lèi)討論問(wèn)題137

9.3　多變量問(wèn)題　140

9.4　其他導(dǎo)數(shù)問(wèn)題144

第　10 講 微積分選講　147

10.1　從實(shí)數(shù)到無(wú)窮大　147

10.1.1　實(shí)數(shù)的定義　147

10.1.2　無(wú)窮大的勢(shì)　148

10.2　極限的定義149

10.2.1　數(shù)列的極限　150

10.2.2　函數(shù)的極限151

10.3　微分與積分153

10.3.1　導(dǎo)數(shù)與微分　153

10.3.2　定積分與微積分基本定理　154

課后練習(xí)參考答案　157

附錄　常用函數(shù)的圖像　183