《數(shù)學分析講義》（上、下）冊是作者在中國科學院大學授課期間編寫的，講義內(nèi)容主要參考了華東師范大學數(shù)學系編寫的《數(shù)學分析》，以及國內(nèi)外一些優(yōu)秀的教材，并在此基礎(chǔ)上作了一些補充。講義注重分析的幾何直觀性、理論的嚴謹和系統(tǒng)性、應(yīng)用的深入性，以及與后續(xù)學科的銜接性。
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國家自然科學基金委重點項目, 編號11431014，負責人
國家自然科學基金委, 重大項目的子課題，負責人
目錄
前言
第1章 函數(shù)項級數(shù) 1
1.1 函數(shù)列的一致收斂性 1
1.1.1 函數(shù)列收斂 1
1.1.2 函數(shù)列一致收斂 2
1.1.3 C([a,b])空間中的收斂 6
1.2 一致收斂函數(shù)列性質(zhì) 10
1.3 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 16
1.3.1 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 16
1.3.2 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法 18
1.4 一致收斂函數(shù)項級數(shù)性質(zhì) 23
1.5 冪級數(shù) 30
1.5.1 冪級數(shù)的收斂區(qū)間 30
1.5.2 一致收斂性及性質(zhì) 33
1.5.3 函數(shù)的冪級數(shù)展開 38
1.6 傅里葉級數(shù) 44
1.6.1 傅里葉級數(shù)定義 44
1.6.2 正交函數(shù)系 47
1.6.3 傅里葉級數(shù)逐點收斂性 51
1.6.4 周期函數(shù)的傅里葉展開 58
1.6.5 傅里葉級數(shù)均方收斂性 66
1.6.6 傅里葉變換簡介 72
第2章 多元函數(shù)微分學 79
2.1 平面點集 79
2.2 極限與完備性定理 84
2.3 多元函數(shù)與極限 88
2.3.1 二元函數(shù) 88
2.3.2 重極限 89
2.3.3 累次極限 92
2.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 96
2.4.1 連續(xù)函數(shù)的概念 96
2.4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 99
2.5 多元函數(shù)的微分 102
2.5.1 偏導數(shù)的概念 102
2.5.2 微分的概念 105
2.5.3 鏈式求導法則 111
2.5.4 曲面的切平面 114
2.6 向量值函數(shù)的微分 118
2.6.1 微分的概念 118
2.6.2 鏈式求導法則 120
2.7 向量值函數(shù)的反函數(shù) 122
2.7.1 壓縮映射定理 122
2.7.2 反函數(shù)定理 124
2.8 隱函數(shù)的存在性 127
2.8.1 二元函數(shù)確定的可微隱函數(shù) 127
2.8.2 多元函數(shù)確定的可微隱函數(shù) 130
2.8.3 方程組確定的可微隱函數(shù) 133
2.8.4 向量值函數(shù)確定的可微隱函數(shù) 135
2.8.5 二元函數(shù)確定的連續(xù)隱函數(shù) 136
2.9 多元函數(shù)的Taylor公式 140
2.9.1 中值定理 140
2.9.2 Taylor公式 141
第3章 多元函數(shù)微分學的應(yīng)用 146
3.1 向量運算簡介 146
3.2 空間曲面的切平面與法向量 148
3.3 空間曲線的切線與法平面 154
3.4 多元函數(shù)的極值 157
3.4.1 函數(shù)極值 157
3.4.2 條件極值 161
第4章 含參量積分 177
4.1 含參量正常積分 177
4.2 含參量反常積分 184
4.2.1 一致收斂性及其判別法 184
4.2.2 含參量反常積分的性質(zhì) 189
4.3 歐拉積分 198
4.3.1 Γ函數(shù) 198
4.3.2 B 函數(shù) 200
第5章 二重積分與曲線積分 207
5.1 平面圖形的面積 207
5.2 二重積分及性質(zhì) 210
5.3 二重積分的計算 215
5.3.1 簡單二重積分計算 215
5.3.2 一般二重積分計算 220
5.4 平面曲線積分 229
5.4.1 第一型曲線積分 229
5.4.2 第二型曲線積分 237
5.4.3 兩型曲線積分關(guān)系 247
5.5 格林公式 248
5.5.1 格林公式 248
5.5.2 連續(xù)向量場的旋轉(zhuǎn)數(shù) 255
5.5.3 平面曲線積分與路徑無關(guān)性 257
第6章 三重積分與曲面積分.265
6.1 三重積分和性質(zhì) 265
6.2 三重積分的計算 266
6.2.1 簡單三重積分計算 266
6.2.2 一般三重積分計算 269
6.3 曲面積分 278
6.3.1 曲面面積 278
6.3.2 第一型曲面積分 284
6.3.3 第二型曲面積分 291
6.3.4 兩型曲面積分關(guān)系 294
6.4 高斯公式和斯托克斯公式 302
6.4.1 高斯公式 302
6.4.2 斯托克斯公式 308
6.4.3 空間曲線積分與路徑無關(guān)性 312
第7章 向量場簡介 314
7.1 微分算子及相關(guān)場 314
7.1.1 梯度算子與梯度場 314
7.1.2 散度算子與散度場 314
7.1.3 旋度算子與旋度場 316
7.2 特殊向量場及性質(zhì) 317
7.2.1 無源場 317
7.2.2 無旋場 318
7.2.3 調(diào)和場 322
第8章 反常二重積分 324
8.1 無界區(qū)域上二重積分 324
8.2 無界函數(shù)的二重積分 328
附錄A 線性賦范空間和內(nèi)積空間 331
A.1 線性空間 331
A.2 線性賦范空間 332
A.3 內(nèi)積空間 334
附錄 B 微分算子的表示方法 337
B.1 曲線坐標下的微分形式 337
B.2 梯度算子 338
B.3 旋度算子 339
B.4 散度算子 340
B.5 Laplace算子 341
參考文獻 342
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