本書系統(tǒng)介紹了群集行為的數(shù)學理論，以 Cucker-Smale 模型為核心，探討了多智能體在自然界和工程領域中的群體動態(tài)行為，如蜂擁、群集行為和一致性等現(xiàn)象. 全書分為兩部分：第一部分聚焦 Cucker-Smale 模型的群集行為，第二部分研究其一致性. 本書從群體行為的基本概念入手，詳細分析了長程和短程通信權(quán)重下的模型性質(zhì)，包括速度對齊、碰撞避免以及非群集行為的一般充分條件. 此外，書中還探討了混合 Cucker-Smale模型和時滯 Cucker-Smale 模型的動態(tài)特性，并通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的有效性. 本書既包含嚴格的數(shù)學推導，又結(jié)合實際應用場景，適合應用數(shù)學、運籌學與控制論專業(yè)的高年級本科生和研究生閱讀. 通過本書，讀者可以掌握群集行為建模與分析的核心方法，為進一步研究復雜系統(tǒng)動力學奠定基礎.
陳自力，副教授，南昌大學數(shù)學與計算機學院碩導，博士畢業(yè)于華中科技大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)，主要研究與物理、生物相關的多粒子數(shù)學模型，包含常微分方程模型和偏微分方程模型。以第一作者或通訊作者身份發(fā)表SCI論文十余篇，主持國家自然科學基金項目4項，主持江西省自然科學基金項目4項。國家精品在線開放課程《高等數(shù)學（一）》主講人之一，指導學生獲大學生數(shù)學競賽全國三等獎1項、省一等獎4項。
第 1 章 群體行為簡介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 緒論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cucker-Smale 模型介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 典型的群體行為 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 模型的基本性質(zhì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 長程通信權(quán)重下的群集行為 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 2 章 短程通信權(quán)重下的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 構(gòu)造“勢能”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 速度的收斂性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.3 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 數(shù)值模擬示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
第 3 章 Cucker-Smale 模型的非群集行為 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 非群集行為的充分條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.2 二階空間矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 非群集行為的一般充分條件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 數(shù)值模擬示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
第 4 章 混合 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
4.1 混合系統(tǒng)描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
4.2 速度方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 群集行為的充分條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 速度方差的推導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 定理 4.1 的證明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 數(shù)值模擬示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
第 5 章 時滯 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.1 問題描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 短時間間隔內(nèi)的碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 二階速度–空間距的不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3 空間直徑的正下界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 群集行為的充分條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
第 6 章 具有 Riesz 位勢的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 問題描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 基本性質(zhì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 人工勢能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 非群集行為 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
第 7 章 具有冪律勢的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 主要結(jié)果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 構(gòu)造 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 微觀能量和空間直徑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 弱一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.5 強一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
第 8 章 具有高次冪律勢的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1 模型介紹及基本性質(zhì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.1 宏觀 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.2 微觀 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3 一致性及其收斂速率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
8.3.1 弱一致 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3.2 直徑的有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3.3 強一致的定理證明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第 9 章 具有擬二次勢的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1 模型介紹及基本性質(zhì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
9.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3 一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3.1 空間直徑的估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3.2 Lyapunov 泛函導數(shù)的估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3.3 弱一致性的證明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3.4 強一致性的證明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
第 10 章 具有冪律勢與反應時滯的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . .129
10.1 模型介紹和能量波動. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
10.2 空間直徑的有界性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.3 高階冪律勢下的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
第 11 章 具有非線性速度耦合和冪律勢的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . 141
11.1 基本性質(zhì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2 一致性與收斂速度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.3 有限時間內(nèi)一致性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4 獨立于 N 的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.5 數(shù)值模擬示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
索引 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
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