定 價(jià)：35 元
叢書名：“101計(jì)劃”核心教材數(shù)學(xué)領(lǐng)域
- 作者：來米加 編著
- 出版時(shí)間：2025/8/1
- ISBN：9787301357576
- 出 版 社：北京大學(xué)出版社
- 中圖法分類：O186.1
- 頁碼：172
- 紙張：
- 版次：1
- 開本：16開
本教程是為教育部101計(jì)劃編寫的數(shù)學(xué)方向微分幾何教材。內(nèi)容緊貼101計(jì)劃幾何組工作會(huì)議提出的大綱。分為三個(gè)大的章節(jié)：第一章介紹古典曲線和曲面的微分幾何，重點(diǎn)圍繞曲率這一核心概念展開。第二章以高斯絕妙定理為開端，引入內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)的觀點(diǎn)，介紹曲面上協(xié)變導(dǎo)數(shù)，平行移動(dòng)，測地線，指數(shù)映射等概念，最終推向高斯博內(nèi)公式和常曲率空間的分類簡述。第三章以黎曼著名的就職演說為出發(fā)點(diǎn)，引出了流形的概念。該章重點(diǎn)是介紹流形上的微積分學(xué)，以微分形式為貫穿，最終介紹De Rham上同調(diào)和De Rham定理。而流形上帶度量的討論就留給后續(xù)的黎曼幾何課程了。
來米加
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來米加，上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，畢業(yè)于愛荷華大學(xué)主要研究幾何分析、橢圓性偏微分方程正則性原理。
第一章曲線和曲面的局部理論
1.1 空間曲線理論
1.2 曲面
1.3 Gauss 映射及其微分
1.4 第二基本形式之代數(shù)
1.5 第二基本形式之幾何
1.6 曲率之局部坐標(biāo)計(jì)算
1.7 Gauss 映射像的面積
1.8 Fenchel, Fary-Milnor 定理
第一章練習(xí)
第二章曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)
2.1 Gauss 絕妙定理
2.2 協(xié)變導(dǎo)數(shù)、平行移動(dòng)
2.3 測地線
2.4 Gauss-Bonnet 公式
2.5 指數(shù)映射
2.6 測地完備、Hopf-Rinow 定理
2.7 抽象曲面
*2.8 常曲率空間分類
2.8.1 內(nèi)蘊(yùn)分類
2.8.2 外蘊(yùn)分類: 常Gauss 曲率曲面
2.8.3 外蘊(yùn)分類: 常平均曲率曲面
*2.9 帶符號曲率曲面簡介
2.9.1 正曲率: Bonnet 定理
2.9.2 非正曲率: Hadamard 定理
第二章練習(xí)
第三章光滑流形
3.1 流形
3.2 切空間
3.3 向量場
3.4 分布、Frobenius 定理
3.5 微分形式
3.5.1 微分形式之代數(shù)
3.5.2 微分形式之分析
3.6 de Rham 上同調(diào)
3.6.1 同倫不變性
3.6.2 Mayer-Vietoris 序列
3.7 積分和Stokes 定理
*3.8 de Rham 定理簡介
3.8.1 奇異同調(diào)
3.8.2 de Rham 定理
*3.9 Hodge 定理簡介
第三章練習(xí)
附錄A 分析、代數(shù)工具
A.1 二次型
A.2 反函數(shù)定理
A.3 單位分解
A.4 曲面特殊參數(shù)化的存在性
附錄B 拓?fù)涫聦?shí)
B.1 旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理
B.2 Jordan 曲線定理
B.3 閉曲面拓?fù)浞诸?B.4 基本群
B.5 覆蓋映射
參考文獻(xiàn)
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