泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門較新的數(shù)學(xué)分支，它綜合運(yùn)用分析、代數(shù)、幾何的觀點(diǎn)和方法研究無限維向量空間上的泛函、算子和極限理論。它在控制論、最優(yōu)化理論、微分方程、概率論、流體力學(xué)、量子物理、計(jì)算數(shù)學(xué)等學(xué)科中有著重要的應(yīng)用，是從事高水平科學(xué)研究的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，強(qiáng)有力地推動(dòng)著其他關(guān)聯(lián)學(xué)科的發(fā)展。因此，許多大學(xué)已把應(yīng)用泛函分析列為工科研究生的學(xué)位課程。
本書是面向綜合性大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)（特別是控制科學(xué)與工程專業(yè)）研究生學(xué)習(xí)應(yīng)用泛函分析方面的教材。本著強(qiáng)化基礎(chǔ)、拓展應(yīng)用的原則，本書系統(tǒng)地介紹了泛函分析基礎(chǔ)知識(shí)，并著重列舉泛函分析方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)例，注重闡明基本概念、基本思想和基本方法，力圖內(nèi)容全面、重點(diǎn)突出、深入淺出。
泛函分析在當(dāng)今控制理論諸分支的研究中占有重要地位。目前國內(nèi)已有不少應(yīng)用泛函分析教材，其中大多數(shù)教材非常優(yōu)秀，給予作者很大的啟發(fā)，但其中也有些過于簡略，僅羅列了泛函分析中的基本概念和主要定理，沒有完全展示泛函分析方法的實(shí)質(zhì)和威力；還有一些完全根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)體系編寫，所闡述的內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，過于注重定理證明的細(xì)枝末節(jié)，其高度的抽象性導(dǎo)致工科研究生在學(xué)習(xí)過程中感到其艱澀難懂，望而生畏。本書試圖彌補(bǔ)這一缺陷，是針對(duì)工科類專業(yè)研究生和未修過實(shí)分析的數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生的泛函分析教材。
本書特色
（1）強(qiáng)調(diào)問題的來源，從問題背景出發(fā)引入有關(guān)抽象概念，注重泛函分析與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等課程的聯(lián)系對(duì)比，努力做到深入淺出。
（2）給出大量具體例子，有助于讀者理解抽象的概念，掌握重要的知識(shí)點(diǎn)，以及了解重要定理的應(yīng)用。
（3）詳盡又不失簡潔地編寫線性算子半群及其應(yīng)用這一章內(nèi)容，以適應(yīng)工科類專業(yè)（特別是控制科學(xué)與工程專業(yè)）研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和專業(yè)需要，且保持泛函分析理論體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性。
（4）在有關(guān)章節(jié)中專門穿插給出了泛函分析在微分方程解的存在唯一性、最小二乘法、最優(yōu)控制、熱傳導(dǎo)方程、 Euler-Bernoulli梁方程、柔性吊車系統(tǒng)等方面的應(yīng)用，加強(qiáng)研究生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。
通過本書的學(xué)習(xí)，應(yīng)領(lǐng)悟泛函分析研究和處理問題的思想方法，掌握距離空間、Banach空間和 Hilbert空間以及定義在這些空間上的線性泛函和線性算子等基本概念、基本性質(zhì)與重要定理，能運(yùn)用全新的、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的視角審視和處理控制工程中的一些問題，學(xué)會(huì)將控制工程中的具體問題抽象到一種更加純粹的代數(shù)、拓?fù)湫问街屑右匝芯�。書中各章最后都設(shè)有精選的習(xí)題，以便讀者掌握解題方法，進(jìn)而加深理解應(yīng)用泛函分析的基本概念和方法。
崔寶同教授審閱了本書初稿，并提出了許多寶貴的意見。我的研究生對(duì)本書的初稿進(jìn)行了初校工作，在這里向他們表示誠摯的感謝！本書的編寫得到了江南大學(xué)研究生教材建設(shè)項(xiàng)目的支持，在此深表謝意。最后，本書的出版還得到了清華大學(xué)出版社和崔彤編輯的大力支持和幫助，在此表示由衷的感謝。
筆者學(xué)識(shí)淺陋，對(duì)博大精深的泛函分析理論僅略知皮毛，書中難免存在疏漏和不當(dāng)之處，懇請(qǐng)專家和讀者斧正。
樓旭陽
2024年 12月于無錫
符號(hào)說明 IX
第 1章實(shí)分析基礎(chǔ) 1
1.1數(shù)列的收斂
1
1.2函數(shù)列的收斂
. 3
1.
3可測集與可測函數(shù) 7
1.4勒貝格積分
. 10
1.4.1黎曼積分
10
1.
4.2勒貝格積分的定義 . 12
1.
4.3勒貝格積分的性質(zhì) . 14
1.5
Lp空間 . 17
習(xí)題 1 . 19
第 2章距離空間 21
2.
1距離空間的基本概念 21
2.
1.1距離空間的定義 22
2.
1.2距離空間中的點(diǎn)集 . 25
2.
1.3距離空間中的收斂 . 27
2.
1.4距離空間中的連續(xù)映射 29
2.
1.5稠密性與可分性 31
2.
2距離空間的完備性 . 34
2.2.1
Cauchy列與完備性 . 34
2.
2.2距離空間的完備化 . 39
2.
3距離空間的列緊性與緊性 . 40
2.
3.1列緊集與緊集 . 41
2.
3.2列緊集的性質(zhì) . 42
2.
3.3緊集上的連續(xù)映射 . 44
2.
4壓縮映射原理及其應(yīng)用 . 44
2.
4.1不動(dòng)點(diǎn)與壓縮映射 . 45
2.
4.2壓縮映射原理 . 46
2.
4.3壓縮映射原理的應(yīng)用 . 48
習(xí)題 2 . 53
第 3章 Banach空間 56
3.1線性空間
. 56
3.
1.1線性空間的定義 56
3.1.2線性算子
61
3.2賦范線性空間
64
3.
2.1賦范線性空間的概念 . 64
3.
2.2由范數(shù)誘導(dǎo)的距離 . 67
3.
2.3依范數(shù)收斂 . 69
3.
3完備賦范線性空間 . 70
3.3.1
Banach空間的概念 . 71
3.3.2
Banach空間的性質(zhì) . 74
3.3.3
Riesz引理 76
3.
4有限維賦范線性空間 77
習(xí)題 3 . 80
4.1內(nèi)積空間
. 83
4.
1.1內(nèi)積空間的概念 84
4.
1.2內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) 86
4.
1.3范數(shù)成為內(nèi)積的條件 . 88
4.
1.4完備內(nèi)積空間 . 90
4.2正交與正交系
92
4.2.1正交性
. 92
4.
2.2正交系和標(biāo)準(zhǔn)正交系 . 94
4.2.3
Gram-Schmidt正交化 . 96
4.3
Fourier級(jí)數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 98
4.3.1
Fourier級(jí)數(shù)和 Bessel不等式 98
4.
3.2標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 100
4.3.3
Hilbert空間的同構(gòu) 107
4.
4最佳逼近和正交分解定理 . 109
4.4.1最佳逼近
109
4.
4.2正交分解定理 . 111
4.
4.3正交投影算子 . 114
4.
5正交分解定理的應(yīng)用 116
4.5.1最優(yōu)控制
116
4.
5.2函數(shù)逼近問題 . 118
4.
5.3最小二乘法 . 120
習(xí)題 4 . 121
第 4章 Hilbert空間 83
第 5章有界線性算子理論 . 123
5.1線性算子
. 123
5.
1.1有界線性算子 . 124
5.1.2連續(xù)算子
128
5.2算子空間
. 131
5.
2.1算子范數(shù)和算子空間 . 131
5.
2.2算子列的收斂性 137
5.
2.3算子空間的完備性 . 139
5.3一致有界定理
140
5.
3.1一致有界定理與共鳴定理 . 141
5.
3.2一致有界定理的應(yīng)用 . 143
5.
4逆算子與逆算子定理 148
5.4.1逆算子
. 148
5.
4.2逆算子定理 . 149
5.
4.3逆算子定理的應(yīng)用 . 151
5.
5閉算子與閉圖像定理 152
5.5.1閉算子
. 152
5.
5.2閉圖像定理 . 154
5.6
Hahn-Banach延拓定理 . 156
習(xí)題 5 . 159
第 6章共軛空間與共軛算子 . 163
6.1共軛空間與
Riesz表示定理 163
6.2自反空間
. 168
6.3共軛算子
. 171
6.
4強(qiáng)收斂與弱收斂 . 179
6.
4.1點(diǎn)列的強(qiáng)收斂與弱收斂 179
6.
4.2算子列的強(qiáng)收斂與弱收斂 . 182
6.
4.3泛函列的弱收斂與弱 *收斂 183
6.5
Riesz表示定理的應(yīng)用 . 184
習(xí)題 6 . 190
第 7章線性算子的譜理論 . 193
7.1譜集和正則集
193
7.
2有界線性算子的譜理論 . 197
7.
3自伴算子的譜理論 . 201
7.
4緊算子的譜理論 . 204
7.
4.1緊算子的定義 . 204
7.
4.2緊算子的性質(zhì) . 206
7.
4.3緊算子的譜和 Fredholm抉擇定理 . 209
習(xí)題 7 . 214
第 8章線性算子半群及其應(yīng)用 217
8.1抽象
Cauchy問題初探 217
8.
2強(qiáng)連續(xù)算子半群 . 220
8.2.1
C0半群的定義和性質(zhì) 221
8.2.2
C0半群的生成定理 223
8.
2.3耗散算子與壓縮半群 . 224
8.
3線性發(fā)展方程的解 . 228
8.
4線性算子半群的應(yīng)用 231
8.
4.1熱傳導(dǎo)問題 . 232
8.
4.2弦振動(dòng)問題 . 234
8.4.3人口方程
236
8.4.4
Euler-Bernoulli梁方程 238
8.
4.5柔性吊車系統(tǒng) . 241
習(xí)題 8 . 245
參考文獻(xiàn) . 247
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