本書是大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教材. 全書共分為7章， 分別是：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)及其 應(yīng)用、保形映射、積分變換. 本書每章中間編有若干隨文練習(xí)題，便于讀者學(xué)練互動(dòng)，每章章末 有小結(jié)和課后作業(yè)題，書末有參考答案. 本書參考文獻(xiàn)后有中外人名對(duì) 照表和索引，便于讀者查詢. 加星號(hào)的部分為選讀內(nèi)容，主要包含復(fù)變 函數(shù)理論的應(yīng)用. 本書配圖豐富，內(nèi)容清晰，語(yǔ)言流暢且不失嚴(yán)謹(jǐn). 本書適合作為大 學(xué)相關(guān)課程教材，也可供教學(xué)人員和工程技術(shù)人員參考.
在當(dāng)今科學(xué)與工程的廣闊領(lǐng)域中, 復(fù)變函數(shù)與積分變換作為數(shù)學(xué)工具的核心組成部分, 扮演著 舉足輕重的角色. 它們不僅是理論研究的基石, 更是解決實(shí)際問(wèn)題的利器. 本書旨在為讀者提供一 部?jī)?nèi)容全面、結(jié)構(gòu)清晰、易于理解的教材, 幫助讀者系統(tǒng)地掌握這一領(lǐng)域的基本理論和實(shí)際應(yīng)用, 為未來(lái)的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)生涯打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 復(fù)變函數(shù), 將函數(shù)的變量范圍從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)域. 這種推廣看似平凡, 卻因?yàn)閺?fù)變函數(shù) 的解析理論能揭示許多在實(shí)數(shù)域中難以發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律和性質(zhì), 而顯得豐富多彩且極具生命力. 通 過(guò)復(fù)變函數(shù), 我們可以更加深入地理解自然界的許多現(xiàn)象, 如電磁場(chǎng)的分布、流體的流動(dòng)、振動(dòng)與 波動(dòng)等. 本書先介紹復(fù)數(shù)的基本概念、運(yùn)算規(guī)則和幾何意義, 然后逐步將實(shí)數(shù)情形的極限與微積分 理論推廣到復(fù)數(shù)情形, 并揭示這二者本質(zhì)的差異. 我們將深入探討復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性, 并 由此得到其積分表達(dá)、級(jí)數(shù)展開(kāi)、奇點(diǎn)行為與留數(shù)等核心理論. 積分變換, 特別是傅里葉變換和拉普拉斯變換, 是現(xiàn)代科學(xué)與工程中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具. 它 們?cè)诤瘮?shù)變換方面的諸多性質(zhì), 解釋了處理信息的一般手段. 不僅如此, 它們還能夠?qū)?fù)雜的微分、 積分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的代數(shù)方程, 將復(fù)雜的卷積運(yùn)算化為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算. 本書將在復(fù)變函數(shù) 相關(guān)理論的基礎(chǔ)上, 深入探討這兩類積分變換的動(dòng)機(jī)、原理、性質(zhì)及應(yīng)用, 以便讀者掌握積分變換 的基本方法和技巧. 在本書編寫過(guò)程中, 我們注重理論與實(shí)踐的結(jié)合, 兼顧趣味性和可讀性, 力求使內(nèi)容既具有理 論深度, 又易于理解和應(yīng)用. 在本書中, 我們力求每一個(gè)概念的引入背景都有所交代, 讓讀者能很容 易地接受抽象的數(shù)學(xué)概念; 每一個(gè)性質(zhì)都有所應(yīng)用, 避免讀者陷入為何而學(xué)的困惑中; 每一個(gè)定理 都可以用簡(jiǎn)短的語(yǔ)言來(lái)解釋, 并提供多視角的理解方式, 讓讀者理解而不只是記住一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn). 本書提供了豐富的例題和隨堂練習(xí), 讓讀者可以學(xué)練互動(dòng). 每一章的結(jié)尾對(duì)相應(yīng)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行 了總結(jié), 并著重指出不易理解和易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn). 本書中的選讀內(nèi)容建議讓感興趣的學(xué)生自學(xué), 而 不必講授. 若因課時(shí)不足而不能講授全書, 則可依次不講授保形映射、積分變換在積分和級(jí)數(shù)中的 應(yīng)用、留數(shù)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用、留數(shù)在定積分中的應(yīng)用. 本書是在合肥工業(yè)大學(xué)全體數(shù)學(xué)教師的支持下編寫完成的. 相關(guān)課程的數(shù)字教學(xué)資源由袁志 杰、趙德勤、陳智、周玲、劉可為等人建設(shè)完成. 感謝本書完成過(guò)程中學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)和同事的大力支持, 感謝本書的編輯、校對(duì)和審閱專家. 由于編者水平有限, 書中錯(cuò)誤之處在所難免, 敬請(qǐng)讀者指正!編 者
目 錄引言第 1 章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 11.1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 11.1.1 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生 11.1.2 復(fù)數(shù)的概念 31.1.3 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 41.1.4 共軛復(fù)數(shù) 61.2 復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式 71.2.1 復(fù)數(shù)的模和輻角 71.2.2 復(fù)數(shù)的三角和指數(shù)形式 101.3 三角和指數(shù)形式在計(jì)算中的運(yùn)用 121.3.1 復(fù)數(shù)的乘除 121.3.2 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義 131.3.3 復(fù)數(shù)的乘冪 141.3.4 復(fù)數(shù)的方根 151.3.5 實(shí)系數(shù)三次方程根的情況 (選讀)171.3.6 單位根的應(yīng)用 (選讀) 191.4 曲線和區(qū)域 231.4.1 復(fù)數(shù)表示平面曲線 231.4.2 區(qū)域和閉區(qū)域 251.4.3 區(qū)域的特性 281.5 復(fù)變函數(shù) 291.5.1 復(fù)變函數(shù)的定義 291.5.2 復(fù)平面的變換 301.6 極限和連續(xù)性 331.6.1 數(shù)列的極限 331.6.2 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和復(fù)球面 341.6.3 函數(shù)的極限 351.6.4 函數(shù)的連續(xù)性 371.6.5 復(fù)數(shù)域的性質(zhì) (選讀) 38本章小結(jié) 44本章作業(yè) 45第 2 章 解析函數(shù) 472.1 解析函數(shù)的概念 472.1.1 可導(dǎo)函數(shù) 472.1.2 可微函數(shù) 492.1.3 解析函數(shù) 502.2 函數(shù)解析的充要條件 512.2.1 柯西黎曼定理 512.2.2 柯西黎曼定理的應(yīng)用 532.3 初等函數(shù) 572.3.1 指數(shù)函數(shù) 572.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 592.3.3 冪函數(shù) 612.3.4 三角函數(shù)和相關(guān)函數(shù) 632.3.5 在有理函數(shù)中的應(yīng)用 662.3.6 矩陣上的指數(shù)函數(shù) (選讀) 692.3.7 多值函數(shù)的單值化 (選讀) 72本章小結(jié) 76本章作業(yè) 77第 3 章 復(fù)變函數(shù)積分 793.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 793.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的定義 793.1.2 參變量法計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分 803.1.3 長(zhǎng)大不等式和大小圓弧引理 833.2 柯西-古薩定理和復(fù)合閉路定理853.2.1 柯西-古薩定理 853.2.2 復(fù)合閉路定理和連續(xù)變形定理 873.2.3 原函數(shù)和不定積分 903.3 柯西積分公式 94目 錄 V3.3.1 解析函數(shù)的柯西積分公式 943.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式 963.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù) 1003.4.1 調(diào)和函數(shù) 1003.4.2 共軛調(diào)和函數(shù) 1013.5 復(fù)變函數(shù)在平面向量場(chǎng)中的應(yīng)用(選讀) 1043.5.1 平面向量場(chǎng) 1043.5.2 無(wú)源場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)和調(diào)和場(chǎng) 1053.5.3 應(yīng)用舉例 106本章小結(jié) 109本章作業(yè) 110第 4 章 級(jí)數(shù) 1134.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1134.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性 1134.1.2 判別法 1164.2 冪級(jí)數(shù) 1174.2.1 冪級(jí)數(shù)及其收斂圓 1174.2.2 收斂半徑的計(jì)算 1194.2.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 1204.3 泰勒級(jí)數(shù) 1234.3.1 泰勒展開(kāi)的形式與性質(zhì) 1234.3.2 泰勒展開(kāi)的計(jì)算方法 1254.3.3 泰勒展開(kāi)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用(選讀) 1284.3.4 泰勒展開(kāi)成立的范圍(選讀) 1304.4 洛朗級(jí)數(shù) 1324.4.1 雙邊冪級(jí)數(shù) 1324.4.2 洛朗展開(kāi)的形式 1344.4.3 洛朗展開(kāi)的計(jì)算方法 1364.4.4 有理函數(shù)的泰勒展開(kāi)和洛朗展開(kāi)(選讀) 1404.5 孤立奇點(diǎn) 1454.5.1 孤立奇點(diǎn)的類型 1454.5.2 零點(diǎn)與極點(diǎn) 1494.5.3 孤立奇點(diǎn) 的分類 (選讀) 151本章小結(jié) 154本章作業(yè) 155第 5 章 留數(shù)及其應(yīng)用 1585.1 留數(shù) 1585.1.1 留數(shù)定理 1585.1.2 留數(shù)的計(jì)算方法 1595.1.3 在 的留數(shù) 1625.2 留數(shù)的應(yīng)用 1645.2.1 留數(shù)在定積分中的應(yīng)用 1645.2.2 留數(shù)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 (選讀) 1745.2.3 儒歇定理 (選讀) 177本章小結(jié) 180本章作業(yè) 181第 6 章 保形映射 1836.1 保形映射的概念 1836.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1836.1.2 保形映射的定義 1846.1.3 擴(kuò)充復(fù)平面上的保形映射 1856.2 分式線性映射 1876.2.1 分式線性映射的性質(zhì) 1876.2.2 分式線性映射舉例 1916.2.3 分式線性映射的其他表現(xiàn)(選讀) 1956.3 初等函數(shù)對(duì)應(yīng)的映射 1986.3.1 冪函數(shù) 1986.3.2 指數(shù)函數(shù) 2006.3.3 儒可夫斯基函數(shù) 2036.4 保形映射在標(biāo)量場(chǎng)中的應(yīng)用(選讀) 206本章小結(jié) 208本章作業(yè) 209第 7 章 積分變換 2117.1 傅里葉變換 2117.1.1 積分變換的引入 2117.1.2 傅里葉級(jí)數(shù) 2127.1.3 傅里葉變換 2147.1.4 狄拉克 函數(shù) 219VI 目 錄7.1.5 傅里葉變換的性質(zhì) 2227.1.6 傅里葉變換的應(yīng)用 2277.2 拉普拉斯變換 2337.2.1 拉普拉斯變換的定義 2337.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 2357.2.3 拉普拉斯逆變換 2387.2.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 240本章小結(jié) 243本章作業(yè) 245練習(xí)參考答案 247作業(yè)參考答案 249參考文獻(xiàn) 263中外人名對(duì)照表 264索引 266
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