目錄
序
1 對稱 席南華
參考文獻(xiàn) 36
2 尺規(guī)作圖 鄭維喆
2.1 游戲規(guī)則 38
2.2 線段的算術(shù) 42
2.3 判定準(zhǔn)則.44
2.4 三個(gè)古典作圖問題 48
2.4.1 倍立方體 49
2.4.2 三等分角 50
2.4.3 化圓為方 52
2.5 正多邊形作圖 53
2.6 代數(shù)方程的根和對稱 61
參考文獻(xiàn) 66
3 超越數(shù) 胡永泉
3.1 超越數(shù) 69
3.1.1 代數(shù)數(shù) 69
3.1.2 最有名的超越數(shù)：圓周率π 71
3.1.3 最早的“非構(gòu)造”超越數(shù)：e 74
3.1.4 “人造的” 超越數(shù)：劉維爾數(shù) 78
3.1.5 關(guān)于超越數(shù)的猜想 80
3.2 超越數(shù)的多少 82
4 從丟番圖方程到BSD猜想 萬昕 項(xiàng)征御
4.1 丟番圖方程 87
4.1.1 丟番圖方程和丟番圖其人 87
4.1.2 古希臘“代數(shù)之父”何以冠名“丟番圖幾何” 93
4.2 同余：從丟番圖方程到互反律102
4.2.1 同余小歷史：從歐幾里得、秦九韶、歐拉、勒讓德到高斯 102
4.2.2 從高斯二次互反律到朗蘭茲綱領(lǐng) 112
4.3 p-進(jìn)數(shù)和二次型121
4.3.1 p-進(jìn)數(shù)和局部域 121
4.3.2 亨澤爾、亨澤爾引理和局部解 124
4.3.3 哈塞、二次型和局部–整體原則 125
4.3.4 局部–整體原則的失效 130
4.4 橢圓曲線和BSD猜想.130
4.4.1 從三次丟番圖方程到橢圓曲線 130
4.4.2 橢圓曲線的模p解和局部信息 139
4.4.3 橢圓曲線的局部–整體原則和BSD猜想 143
參考文獻(xiàn).148
5 實(shí)數(shù)探微 田一超
5.1 從數(shù)的定義說起 149
5.2 數(shù)的歷史 152
5.3 實(shí)數(shù)的構(gòu)造 156
5.4 丟番圖逼近 167
參考文獻(xiàn) 172
6 三角形與橢圓——從斯坦納到彭賽列 付保華
6.1 引言 174
6.2 三角形的內(nèi)切橢圓 176
6.2.1 什么是橢圓 176
6.2.2 內(nèi)切橢圓知多少 178
6.2.3 從放牛娃到綜合幾何的創(chuàng)建者 180
6.2.4 面積最大的內(nèi)切橢圓 182
6.2.5 斯坦納內(nèi)切橢圓的焦點(diǎn) 185
6.2.6 還能進(jìn)一步嗎 188
6.3 橢圓的外切三角形 190
6.3.1 圓盤的自同構(gòu) 190
6.3.2 布拉施克積函數(shù) 192
6.3.3 布拉施克積函數(shù)的幾何內(nèi)涵 194
6.3.4 橢圓的外切三角形 196
6.4 彭賽列的巔峰之作 197
6.4.1 從戰(zhàn)俘到射影幾何大家 197
6.4.2 彭賽列閉合定理：從三角形開始 198
6.4.3 多邊形的彭賽列閉合定理 200
6.4.4 本福特定律與蓋爾范德問題 202
6.4.5 邁向更高維度 204
6.5 附錄：方釘問題 205
6.5.1 三角形的內(nèi)接多邊形 206
6.5.2 方釘猜測 207
6.5.3 三角釘問題 208
6.5.4 默比烏斯帶、射影平面與克萊因瓶 210
6.5.5 矩形釘問題 211
6.5.6 多邊形釘問題 213
參考文獻(xiàn).214
7 數(shù)學(xué)看打結(jié) 方明 蘇陽
7.1 結(jié)的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)——紐結(jié)圖 222
7.2 紐結(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá) 230
7.2.1 Conway表達(dá) 231
7.2.2 Dowker表達(dá) 234
7.2.3 辮子表達(dá) 236
7.3 紐結(jié)不變量 239
7.3.1 Alexander多項(xiàng)式 243
7.3.2 Bracket多項(xiàng)式和Jones多項(xiàng)式 244
7.3.3 HOMFLY多項(xiàng)式 246
參考文獻(xiàn) 248
8 平行的深意 許大昕
8.1 歐氏幾何 249
8.2 非歐幾何與平行公理 251
8.3 球面幾何 253
8.4 雙曲幾何 258
8.5 總結(jié) 262
8.6 高維空間 264
參考文獻(xiàn).267
9 有趣的概率 范晨捷
9.1 引子 268
9.2 布朗運(yùn)動(dòng) 271
9.3 正態(tài)分布 273
9.4 布朗運(yùn)動(dòng)和處處不可微的連續(xù)函數(shù) 276
9.5 隨機(jī)游走 278
9.6 馬爾可夫鏈 282
9.7 蒲豐投針和隨機(jī)計(jì)算 285
9.8 偏微分方程中的隨機(jī)初值理論 286
9.9 尾聲 288
參考文獻(xiàn) 290