本書主要講述Sobolev空間的基本理論。全書共7章，第1章介紹連續(xù)函數(shù)空間和H。lder空間的常用性質(zhì)，并證明H。lder模內(nèi)插不等式；第2章詳細(xì)介紹Lebesgue可積函數(shù)空間Lp(Ω)的性質(zhì)和主要結(jié)論；第3章和第4章系統(tǒng)講述整數(shù)階Sobolev空間的基本性質(zhì)，并給出嵌入定理、跡定理和Gagliardo-Nirenberg不等式的詳細(xì)證明；第5章論述廣義函數(shù)與Fourier變換的定義、運算和性質(zhì)；第6章概述Riesz位勢空間和Bessel位勢空間以及實數(shù)階Sobolev空間的定義和性質(zhì)；第7章介紹Besov空間和Triebel空間的定義與基本性質(zhì)。本書內(nèi)容深入淺出、論證詳細(xì)、文字通俗易懂、便于學(xué)習(xí)。
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主持國家自然科學(xué)基金面上項目1項，參加國家自然科學(xué)基金面上項目6項，主持河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項目1項，參加3項
目錄
第1章 預(yù)備知識與連續(xù)函數(shù)空間 1
1.1 泛函分析預(yù)備知識 1
1.1.1 線性空間與距離空間 1
1.1.2 Banach空間和Hilbert空間 3
1.1.3 算子與嵌入 8
1.1.4 線性泛函與弱收斂 12
1.2 連續(xù)函數(shù)空間 16
1.3 H？lder空間 21
1.4 H？lder模內(nèi)插不等式 25
習(xí)題 1 30
第2章 Lp空間 32
2.1 某些必須掌握的積分定理 32
2.2 Lp空間的基本性質(zhì) 34
2.3 Lp空間的一致凸性與自反性 43
2.4 Lp空間的對偶空間 47
2.5 *在 Lp中的稠密性與 Lp空間的可分性 51
2.5.1 *在*中的稠密性 51
2.5.2 *在*中的稠密性 53
2.5.3 Lp空間的可分性 57
2.6 Lp空間中的列緊集 58
2.7 分布函數(shù)與弱Lp空間 65
2.8 Hardy-Littlewood極大函數(shù) 70
2.9 Riesz位勢的Lp估計 74
2.9.1 * 74
2.9.2 *為有界區(qū)域 77
習(xí)題 2 80
第3章 整數(shù)階Sobolev空間的基本性質(zhì) 83
3.1 弱導(dǎo)數(shù)及其運算 83
3.2 弱導(dǎo)數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù) 92
3.3 *的定義和基本性質(zhì) 97
3.4 *中函數(shù)的光滑逼近 101
3.4.1 截斷函數(shù)與局部光滑逼近 101
3.4.2 單位分解與整體光滑逼近 104
3.5 *的刻畫 107
3.6 *的差商刻畫 109
3.7 *中函數(shù)的延拓 117
3.8 *中函數(shù)的邊界跡 123
3.8.1 空間*的情形 123
3.8.2 廣義Green公式 127
3.8.3 空間*的情形 128
習(xí)題 3 129
第4章 整數(shù)階Sobolev空間嵌入定理 131
4.1 Sobolev空間嵌入的必要條件 131
4.2 *中的嵌入定理 135
4.3 *中的嵌入定理 144
4.4 *中的嵌入定理：多維情形 150
4.5 *中的緊嵌入定理 162
4.6 Poincaré不等式與等價模 165
4.7 Gagliardo-Nirenberg不等式 171
4.8 Sobolev空間的乘積估計 177
習(xí)題 4 180
第5章 廣義函數(shù)與Fourier變換 183
5.1 絕對可積函數(shù)的Fourier變換 183
5.2 廣義函數(shù)的基本空間 188
5.3 廣義函數(shù)空間 193
5.3.1 廣義函數(shù)的支集 195
5.3.2 廣義函數(shù)的極限 197
5.3.3 廣義函數(shù)的自變量變換 198
5.3.4 廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 199
5.3.5 廣義函數(shù)的乘子 201
5.4 *和*的對偶空間 202
5.5 廣義函數(shù)的卷積 206
5.5.1 廣義函數(shù)與光滑函數(shù)的卷積 206
5.5.2 廣義函數(shù)的卷積 208
5.6 廣義函數(shù)的Fourier變換 209
5.6.1 緩增廣義函數(shù)的Fourier變換 209
5.6.2 L2函數(shù)的Fourier變換 213
5.6.3 Paley-Wiener定理 214
5.7 徑向函數(shù)的Fourier變換 217
習(xí)題 5 219
第6章 實數(shù)階Sobolev空間 222
6.1 Riesz位勢與Bessel位勢 222
6.1.1 Riesz位勢 222
6.1.2 Bessel位勢 227
6.2 兩個經(jīng)典的算子插值定理 232
6.3 卷積算子和Fourier乘子 240
6.4 Mihlin-H？rmander乘子定理 245
6.5 Bessel位勢空間* 252
6.6 Riesz位勢空間* 255
6.7 分?jǐn)?shù)階Sobolev空間* 260
6.7.1 定義和基本性質(zhì) 260
6.7.2 延拓定理 265
6.7.3 嵌入定理 266
6.8 跡定理 273
習(xí)題 6 279
第7章 Besov空間和Triebel空間 282
7.1 Littlewood-Paley分解 282
7.1.1 局部化方法與Bernstein不等式 282
7.1.2 Littlewood-Paley分解及其性質(zhì) 284
7.1.3 Sobolev空間的Littlewood-Paley刻畫 294
7.2 Besov空間和Triebel空間的定義及基本性質(zhì) 296
7.3 Besov空間模的微分差分表示 304
7.4 Besov空間和Triebel空間的嵌入定理 311
7.4.1 嵌入定理 311
7.4.2 內(nèi)插不等式 318
7.4.3 對數(shù)型Sobolev不等式 322
7.5 當(dāng)*和*時*的極限 324
7.6 Besov空間與導(dǎo)數(shù) 330
習(xí)題 7 338
參考文獻 341
索引 347
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