本書是工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材，本書考慮到工科各專業(yè)對數(shù)值分析的實(shí)際需要，重點(diǎn)突出學(xué)以致用的原則，著重介紹了常用數(shù)值計(jì)算方法的構(gòu)造和使用，內(nèi)容包括線性代數(shù)方程組數(shù)值解法、非線性方程和方程組的數(shù)值解法、插值法與數(shù)值逼近、數(shù)值積分、矩陣特征值計(jì)算、常微分方程數(shù)值解法等同時，對數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算效果、穩(wěn)定性、收斂性、誤差分析、適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)也作了必要的分析與介紹為輔助讀者對重點(diǎn)知識點(diǎn)的深入理解，新增若干數(shù)字化教學(xué)資源，讀者可通過掃描書中二維碼進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)。
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目錄
前言
數(shù)值計(jì)算引論 1
0.1 研究數(shù)值分析的必要性 1
0.2 誤差來源與誤差概念 2
0.2.1 誤差來源 2
0.2.2 絕對誤差與相對誤差 3
0.2.3 有效數(shù)字 4
0.3 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的若干問題 5
0.3.1 防止有效數(shù)字的損失 5
0.3.2 減少計(jì)算次數(shù) 7
0.3.3 避免使用不穩(wěn)定的數(shù)值方法 8
第 1 章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法 9
1.1 向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 11
1.1.1 向量范數(shù) 11
1.1.2 矩陣范數(shù) 12
1.1.3 有關(guān)定理 16
1.2 Gauss消元法 19
1.2.1 Gauss消元法 19
1.2.2 Gauss-Jordan消元法 21
1.2.3 列選主元素消元法 22
1.2.4 全主元素消元法 24
1.3 三角分解法 25
1.3.1 Doolittle分解方法 29
1.3.2 Crout分解方法 32
1.3.3 Cholesky分解方法 34
1.3.4 解三對角方程組的追趕法 39
1.4 矩陣的條件數(shù)及誤差分析 41
1.4.1 初始數(shù)據(jù)誤差的影響及矩陣的條件數(shù) 41
1.4.2 病態(tài)問題簡介 44
1.5 線性方程組的迭代解法 45
1.5.1 收斂性 47
1.5.2 Jacobi迭代 48
1.5.3 Gauss-Seidel迭代 49
1.5.4 超松弛迭代法 51
1.5.5 迭代收斂其他判別方法 54
1.6 梯度法 58
1.6.1 等價性定理 58
1.6.2 最速下降法 61
1.6.3 共軛梯度法 63
習(xí)題1 69
第 2 章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法 73
2.1 基本問題 73
2.1.1 引言 73
2.1.2 二分法 75
2.2 不動點(diǎn)迭代法 77
2.2.1 不動點(diǎn)與不動點(diǎn)迭代 77
2.2.2 不動點(diǎn)迭代收斂階 78
2.2.3 計(jì)算效率 84
2.3 Newton迭代法 84
2.3.1 基于反函數(shù) Taylor 展開的迭代法 84
2.3.2 Newton迭代法 85
2.3.3 Newton迭代法的修正 88
2.3.4 重根上的 Newton迭代法 90
2.3.5 割線法 92
2.4 非線性方程組的數(shù)值解法 96
2.4.1 基本問題 96
2.4.2 非線性方程組的不動點(diǎn)迭代法 96
2.4.3 非線性方程組的 Newton 迭代法 98
2.4.4 擬Newton法 99
習(xí)題2 103
第 3 章 插值法與數(shù)值逼近 105
3.1 多項(xiàng)式插值 107
3.1.1 基本概念 107
3.1.2 Lagrange插值公式 108
3.1.3 Newton插值公式 114
3.1.4 等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式 118
3.1.5 插值公式的收斂性與數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性 120
3.1.6 Hermite插值與分段插值 124
3.2 樣條插值 133
3.2.1 引言 133
3.2.2 基本概念 133
3.2.3 三彎矩插值法 136
3.2.4 三轉(zhuǎn)角插值法 140
3.3 最佳平方逼近 145
3.3.1 函數(shù)的最佳平方逼近 147
3.3.2 基于正交函數(shù)族的最佳平方逼近 151
3.3.3 曲線擬合的最小二乘逼近 162
3.3.4 多項(xiàng)式最小二乘的光滑解 167
3.4 周期函數(shù)的最佳平方逼近 169
3.4.1 周期函數(shù)的最佳平方逼近 169
3.4.2 離散情形 171
3.4.3 周期復(fù)值函數(shù)的情形 173
3.5 最佳一致逼近 173
3.5.1 最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性 174
3.5.2 Chebyshev定理 176
3.5.3 零偏差最小問題 180
3.5.4 最佳一次逼近多項(xiàng)式 181
3.5.5 近似最佳一次逼近多項(xiàng)式 182
習(xí)題3 186
第 4 章 數(shù)值積分 190
4.1 數(shù)值積分的一般問題 190
4.1.1 問題的提出 191
4.1.2 數(shù)值積分的基本思想 192
4.1.3 代數(shù)精度與插值型求積公式 193
4.2 等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式 195
4.2.1 Newton-Cotes公式 195
4.2.2 Newton-Cotes公式數(shù)值穩(wěn)定性 198
4.2.3 Newton-Cotes公式的余項(xiàng) 199
4.2.4 復(fù)化的Newton-Cotes公式 203
4.3 Romberg積分法 206
4.3.1 Richardson外推法 206
4.3.2 Bernoulli多項(xiàng)式與Bernoulli數(shù) 209
4.3.3 Euler-Maclaurin求和公式 212
4.3.4 Romberg積分 215
4.4 Gauss 求積公式 218
4.4.1 Gauss求積公式及其性質(zhì) 218
4.4.2 Gauss公式的數(shù)值穩(wěn)定性 222
4.4.3 Gauss-Legendre求積公式 222
4.5 帶權(quán)函數(shù)的Gauss求積公式 226
4.5.1 代數(shù)精度與數(shù)值穩(wěn)定性 226
4.5.2 無窮區(qū)間上的求積公式 231
4.5.3 奇異積分 234
4.6 復(fù)化的Gauss型求積公式 239
4.7 自適應(yīng)積分方法 242
4.8 多重積分 244
習(xí)題4 245
第 5 章 矩陣特征值計(jì)算 248
5.1 特征值基本性質(zhì)和估計(jì) 248
5.1.1 特征值問題及其性質(zhì) 248
5.1.2 特征值估計(jì) 252
5.2 冪法和反冪法 255
5.2.1 冪法 255
5.2.2 加速與收縮方法 260
5.2.3 反冪法 263
5.3 Jacobi方法 267
5.3.1 旋轉(zhuǎn)變換 267
5.3.2 Jacobi方法 270
5.4 Householder方法 272
5.4.1 Householder變換 272
5.4.2 對稱三對角矩陣的特征值計(jì)算 277
5.4.3 特征向量的計(jì)算 280
5.5 LR和QR算法 281
習(xí)題5 285
第 6 章 常微分方程數(shù)值解法 288
6.1 初值問題數(shù)值方法的一般概念 288
6.2 Euler法 291
6.2.1 顯式Euler法與隱式Euler法 291
6.2.2 Euler法的局部截?cái)嗾`差與精度 294
6.2.3 Euler法的穩(wěn)定性 296
6.3 Runge-Kutta法 298
6.3.1 RK法的一般形式 298
6.3.2 二級RK法 299
6.3.3 四級RK法 301
6.3.4 局部截?cái)嗾`差的實(shí)用估計(jì) 303
6.3.5 單步法的收斂性、相容性、穩(wěn)定性 304
6.4 線性多步法 308
6.4.1 線性多步法的一般形式 308
6.4.2 線性多步法的逼近準(zhǔn)則 308
6.4.3 線性多步法階與系數(shù)的關(guān)系 309
6.4.4 線性多步法的構(gòu)造方法 310
6.5 線性多步法的收斂性 317
6.6 線性多步法的數(shù)值穩(wěn)定性 323
6.6.1 差分方程解的性態(tài) 323
6.6.2 積累誤差的性態(tài) 324
6.6.3 穩(wěn)定性定義 325
6.7 預(yù)測-校正方法 328
6.7.1 基本思想 328
6.7.2 基本方法 329
6.7.3 預(yù)測-校正法和 RK 法的比較 333
6.8 高階方程和方程組 334
6.9 Stiff方程簡介 336
6.9.1 Stiff方程 336
6.9.2 A(α)穩(wěn)定,剛性穩(wěn)定 338
6.10 邊值問題數(shù)值方法 340
6.10.1 打靶法 341
6.10.2 有限差分法 343
習(xí)題6 346
參考文獻(xiàn) 349
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