本書是一本微分流形和現代幾何的入門教材。它從微分流形的定義出發(fā)，介紹了現代幾何學研究中的各種基本概念和技巧。本書前兩章為基礎內容，主要介紹流形上的微積分并證明Stokes積分公式；后三章為進階內容，分別從幾何、拓撲和整體分析三個方面闡述現代幾何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指標公式等。本書內容豐富、語言簡潔，書中含有詳細的例子和習題。凡具有微積分、線性代數、點集拓撲以及泛函分析基礎的讀者均可閱讀本書。
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目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 微分流形 1
§1.1 流形的定義和例子 1
§1.2 子流形8
§1.3 單位分解 16
§1.4 切空間和切映射 25
§1.5 Sard定理及應用33
§1.6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微積分 47
§2.1 切叢和切向量場 47
§2.2 可積性定理及應用 56
§2.3 向量叢和纖維叢 63
§2.4 張量叢.70
§2.5 微分形式 76
§2.6 帶邊流形 88
§2.7 Stokes積分公式 91
第3章 流形的幾何 99
§3.1 度量回顧 99
§3.2 聯(lián)絡105
§3.3 曲率113
§3.4 聯(lián)絡和曲率的計算 120
§3.4.1 活動標架法 121
§3.4.2 正規(guī)坐標 126
§3.5 子流形幾何 130
§3.5.1 第二基本形式 130
§3.5.2 活動標架法 132
§3.5.3 極小子流形 134
§3.5.4 黎曼淹沒 141
§3.6 齊性空間 145
§3.6.1 Lie 群和不變度量 145
§3.6.2 齊性空間 148
§3.6.3 對稱空間 151
§3.7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
§3.7.1 向量場的指標 158
§3.7.2 單位球叢上的計算 161
§3.8 Chern-Weil理論167
§3.9 主叢簡介 176
§3.9.1 主叢上的聯(lián)絡和曲率 176
§3.9.2 主叢上的Chern-Weil理論 183
第4章 流形的上同調 189
§4.1 de Rham 上同調回顧 189
§4.2 映射度回顧 195
§4.3 de Rham上同調群的計算.204
§4.3.1 群作用與上同調 204
§4.3.2 Mayer-Vietoris正合序列 210
§4.4 Thom 類和相交數 217
§4.4.1 Thom類 217
§4.4.2 相交數 222
§4.5 Hodge理論.227
§4.5.1 Hodge星算子 228
§4.5.2 Bochner技巧 233
§4.6 Dirac 算子 240
§4.6.1 Clifford代數 240
§4.6.2 Clifford叢 249
第5章 流形上的橢圓算子 256
§5.1 Sobolev空間 256
§5.2 Hodge定理的證明 262
§5.3 熱方程與熱核 270
§5.4 跡與指標公式 281
§5.5 指標公式的證明 288
§5.5.1 Dirac算子的指標公式 288
§5.5.2 諧振子 293
§5.5.3 Atiyah-Singer指標公式 296
參考文獻 302
索引 304
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