目錄
第二版前言
第一版前言
第一部分 二階線性偏微分方程
第1章 波動(dòng)方程 3
1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出與定解條件 3
1.1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出 3
1.1.2 定解條件 8
1.1.3 偏微分方程分類(lèi)概述 9
1.2 弦振動(dòng)方程柯西問(wèn)題的求解 10
1.2.1 達(dá)朗貝爾公式 11
1.2.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義與特征線 13
1.2.3 半無(wú)限長(zhǎng)弦振動(dòng)方程的求解 15
1.2.4 齊次化原理 19
1.3 分離變量法 21
1.3.1 初邊值問(wèn)題的提法 21
1.3.2 分離變量法 22
1.3.3 分離變量法解的物理意義 27
1.3.4 非齊次方程初邊值問(wèn)題的求解 28
1.4 高維波動(dòng)方程.30
1.4.1 薄膜振動(dòng)方程的導(dǎo)出 30
1.4.2 定解問(wèn)題提法 34
1.4.3 高維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的解及其基本性質(zhì) 35
1.5 波動(dòng)方程解性質(zhì)的討論.39
1.5.1 能量表達(dá)式 39
1.5.2 波動(dòng)方程解性質(zhì)分析.40
課后習(xí)題 42
第2章 熱傳導(dǎo)方程 48
2.1 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出與定解條件 49
2.1.1 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 49
2.1.2 熱傳導(dǎo)方程的定解條件.51
2.1.3 擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)描述.52
2.2 柯西問(wèn)題的求解與積分變換法 53
2.2.1 卷積與傅里葉變換 53
2.2.2 熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題的求解 55
2.2.3 柯西問(wèn)題解性質(zhì)分析.58
2.2.4 熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題的齊次化原理 59
2.3 分離變量法 62
2.3.1 熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題的分離變量法 62
2.3.2 施圖姆–劉維爾型方程及其性質(zhì) 67
2.3.3 齊次化原理 71
2.4 熱傳導(dǎo)方程解的性質(zhì) 71
2.4.1 極值原理 71
2.4.2 熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的唯一性 73
2.4.3 熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的穩(wěn)定性 74
課后習(xí)題 74
第3章 泊松方程 77
3.1 泊松方程與調(diào)和方程 77
3.1.1 表達(dá)式 77
3.1.2 物理背景 78
3.1.3 泊松方程的定解條件.82
3.2 變分原理 84
3.3 調(diào)和方程極坐標(biāo)系表達(dá)與徑向解 88
3.3.1 拉普拉斯算子極坐標(biāo)系表達(dá) 88
3.3.2 調(diào)和方程的徑向解 89
3.4 格林函數(shù)法 91
3.4.1 格林公式的應(yīng)用 91
3.4.2 格林函數(shù)法求解泊松方程 95
3.4.3 格林函數(shù)的性質(zhì)與討論.96
3.5 靜電源像法 98
3.5.1 三維半空間問(wèn)題靜電源像法 98
3.5.2 球域問(wèn)題的靜電源像法 100
3.6 狄拉克函數(shù)與基本解102
3.6.1 狄拉克函數(shù) 102
3.6.2 線性偏微分方程的基本解 105
3.6.3 狄拉克函數(shù)與格林函數(shù) 106
3.7 定解問(wèn)題的唯一性 107
3.7.1 平均值公式 107
3.7.2 極值原理與泊松方程狄利克雷型邊值問(wèn)題解的唯一性 108
3.7.3 強(qiáng)極值原理與泊松方程諾伊曼型邊值問(wèn)題解的唯一性 110
3.7.4 能量方法與泊松方程定解問(wèn)題解的唯一性 111
課后習(xí)題 112
第4章 二階線性偏微分方程分類(lèi)與總結(jié) 116
4.1 二階線性偏微分方程的分類(lèi) 116
4.1.1 二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型.116
4.1.2 二階線性偏微分方程的分類(lèi)總結(jié) 123
4.1.3 多自變量二階線性偏微分方程的分類(lèi) 124
4.2 二階線性偏微分方程的相關(guān)討論 129
課后習(xí)題 135
第二部分 特殊函數(shù)
第5章 貝塞爾函數(shù).139
5.1 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù) 140
5.1.1 貝塞爾方程的導(dǎo)出 140
5.1.2 第一類(lèi)貝塞爾函數(shù) 142
5.1.3 第二類(lèi)貝塞爾函數(shù) 146
5.2 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 149
5.2.1 遞推公式 150
5.2.2 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn) 152
5.2.3 近似公式 153
5.2.4 由貝塞爾函數(shù)組成的完備正交系 154
5.2.5 與正余弦函數(shù)性質(zhì)類(lèi)比 157
5.3 利用貝塞爾函數(shù)求解偏微分方程 159
5.4 貝塞爾函數(shù)的衍生函數(shù) 167
5.4.1 第三類(lèi)貝塞爾函數(shù) 167
5.4.2 修正貝塞爾函數(shù) 167
課后習(xí)題 168
第6章 勒讓德多項(xiàng)式 170
6.1 勒讓德方程 171
6.2 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)出174
6.2.1 勒讓德方程的冪級(jí)數(shù)解 174
6.2.2 勒讓德多項(xiàng)式的定義 177
6.3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)179
6.3.1 羅德里格斯公式 180
6.3.2 勒讓德多項(xiàng)式重要性質(zhì)概覽.180
6.3.3 勒讓德多項(xiàng)式的正交性 182
6.3.4 一般正交多項(xiàng)式的討論 187
6.4 勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用190
6.4.1 球域內(nèi)亥姆霍茲方程分離變量法求解 190
6.4.2 高斯–勒讓德求積公式 192
6.5 連帶勒讓德函數(shù) 196
課后習(xí)題 198
第7章 超幾何函數(shù)簡(jiǎn)介 201
7.1 貝塞爾函數(shù)與勒讓德函數(shù)的共性特征 202
7.2 高斯超幾何函數(shù) 203
7.2.1 高斯超幾何函數(shù)的定義 203
7.2.2 超幾何微分方程 204
7.2.3 重溫勒讓德函數(shù)和勒讓德多項(xiàng)式 208
7.3 匯合型超幾何函數(shù) 211
7.3.1 庫(kù)默爾微分方程及方程的解 211
7.3.2 匯合型超幾何函數(shù)應(yīng)用舉例 212
7.4 超幾何函數(shù)內(nèi)容總結(jié)及人工智能相關(guān)新函數(shù) 213
7.4.1 超幾何函數(shù)內(nèi)容總結(jié) 213
7.4.2 與人工智能相關(guān)的新函數(shù)形式 214
課后習(xí)題 217
參考文獻(xiàn) 218